在课本上看到套利定价模型和衍生品定价的时候，总会看到无套利定价的思路。尽管其思想很容易理解，但还是很好奇为什么特意要强调这种定价方法呢？另外，这种定价方法和以前提出的定价方法比，又有什么好处呢？对于定价理论的发展史稍作了解后，我目前的结论是，无套利定价理论更加实用，因为它所需要的前提假设更宽松，不需要假设决策者的效用函数，which 过于理想化、缺乏统一的设定标准、但在均衡定价方法中又是必须的。
无套利定价理论的出现，得从金融产品的定价开始说起。
早期做金融产品定价的多是经济学出身的学者。而在经济学里，主流的定价方法是均衡定价，即认为，市场出清时的均衡价格，也就是需求和供给达到均衡时的价格就是该产品应有的价格。而需求和供给又可以从消费者理论与生产者理论分别推出：在给定消费者偏好与预算约束的情况下， 消费者的效用最大化决定了需求曲线；同理，生产者的利润最大化决定了需求曲线。把两条曲线放在一起，它们的交点就是均衡点，此状态下的价格便是均衡价格。
在面对金融产品定价这个问题的时候，这些学者也曾试着用上述的传统手段进行定价，但是很快就遇上了麻烦：金融产品和此前研究的产品不太一样。此前研究的产品，比如说冰淇淋，它的供给方与需求方是两拨人，但金融市场上，买卖产品的却是同一拨人，供给方和需求方是一体的。这样下来，原本消费者理论的效用最大化、生产者理论的利润最大化便很难在此得到推广，供给需求曲线也画不出来了，更别提能不能得到均衡价格了。
对于金融产品，既然搞不出传统供给需求的均衡，也就是局部均衡了，那还能咋整呢？Arrow 和 Debreu 俩老哥就想出了新路子，给市场里的每个人加上了当期和未来的消费的效用函数，再对效用函数做最优化，以此得到需求量。这条思路被称为一般均衡定价。
新的均衡理论有是有了，但问题是它不实用啊，没法用在实际的金融产品交易中。这是因为，一般均衡理论很大程度上依赖于每个人的「效用函数」的假设——经济学家对「效用函数」做了一系列的假设，比如单调性、凸性、连续性，但具体怎么设定效用函数，却没个统一的标准。
这可咋整？效用函数在理论推导上是挺有用，但我用不上啊——我总不能在每次下单前都显式地写出自己的效用函数吧？那么，能不能绕开效用函数，对金融产品进行定价呢？这就得提到另一套定价理论，几乎不依赖对效用函数的假设。这个定价理论叫无套利定价。它的思路很简单，把金融产品还原成不同比例的基础资产，把这些基础资产的价格加总起来，就是金融产品的价格了。比如说，如果我想要对一个双层吉士汉堡进行定价，那我只要把双吉里面包、牛肉饼、知识、番茄酱、酸黄瓜、洋葱碎的占比和它们的价格记下来，根据不同成分的占比加权求和，再加点服务费，就能知道双吉的价格了1。
用数学语言来讲，无套利方法其实就是把衍生品投影到商品空间的一组基上，用投影的系数和这些基的价格做个加权和。换个角度来看，无套利定价也可以被认为是商品空间里的泰勒展开。只要能够找到基础资产，就能对衍生品进行定价。而在金融市场中，最常见的基础资产有股票和现金2。因此，后来的学者就想方设法把衍生品拆成股票和现金的组合。其中，Merton 就将欧式看涨期权拆成了 $\Delta$ 份股票和 $-\Pi$ 份现金的组合，即：$call=\Delta \times S-\Pi$，并利用现金可以生息的特性，从 $d\Pi = r\Pi dt$ 这个微分方程出发，利用伊藤引理推导出了期权价格满足的微分方程，后人称 B-S 方程。
再之后，各式各样的微分方程出现在了衍生品的研究和实务领域，但是解这些微分方程也是挺折磨人的事情。于是，后来人在完全市场的假设下搞了等价鞅测度，将相对价格表示为了一个期望值，并进一步化简，将其表示为了风险中性概率下 payoff 的折现值，即：$f=\mathbb E^Q[e^{-\int rdt}f_T]$，大大简化了衍生品定价的计算。
(2023/11/01 更新：下文用到的符号均取自 Mathematical Foundations for Finance)
现在回头来看，之前的最后一段存在问题：等价鞅测度不是在先有完备市场的假设下被搞出来的。实际上，我们是先检查市场 $\left(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, P, S^0 \equiv 1, S\right)$的等价鞅测度，来判断这个市场是否满足无套利，并且（进一步而言）是完备的？ 等价鞅测度、无套利、完备三者的关系大概可被表述为：如果市场$S$有至少一个等价鞅测度，那么该市场满足无套利；在此基础上，如果市场$S$有且仅有一个等价鞅测度，那么该市场是完备的。下图是讲义中的相关定理，其中$S^0$是作为 numéraire 的资产的价格，$\mathbb{P}_e$表示 $S$ 的所有等价鞅测度所组成的集合。
无套利和等价鞅测度的关系
无套利、完备和等价鞅测度的关系
根据定义，如果一个市场满足无套利却不是完备的，那么，市场里必定存在一些无法复制的 payoff。这意味着，我们无法对部分资产定出唯一的价格。不同的等价鞅测度，会导致资产被定出不同价格。反之，如果市场是完备的，那么我们就能确保市场里每个资产都能被给定唯一的价格，无论我们采用哪一个等价鞅测度。此时，以下的风险中性定价公式就能成立，大大简化了对于期权的定价：
风险中性定价公式