序言 把期权研究分成 pricing、calibration 与 risk 三部分。本文先处理 pricing：一个 payoff 被放进某个市场以后，什么条件使它获得无套利价格？

$$ \boxed{ \begin{array}{c} \text{market model} + \text{admissible strategies} \\[5pt] \begin{array}{ccc} \swarrow && \searrow\\[-2pt] \text{claim attainable?} && \text{market arbitrage-free?} \\ \text{replication} && \text{martingale measure} \end{array} \\[7pt] \Downarrow \\[-1pt] \text{unique price for an attainable claim} \longrightarrow \text{pricing operator} \end{array} } $$

Replication 与 no-arbitrage 不是前后推出的两步。前者询问某个 claim 能否由现有资产实现，后者约束整个市场与策略集合。若 claim attainable，二者汇合以后才把 replication cost 锁定为唯一价格。Martingale measure 随后把无套利条件改写成概率条件；在额外的 Markov 与 regularity 条件下，价格又可以表示为 PDE 或其他可计算的 forward problem。

本文沿用本系列的统一符号：

$$ H:=\Phi(S_T;K), \qquad V_t:=V(t,S_t;K,T;\boldsymbol\vartheta), $$

其中 $H$ 是到期于 $T$ 的 claim，$V_t$ 是该 claim 在时刻 $t$ 的 model value。$\Pi_t$ 始终表示交易组合的总价值；无套利价格集合记为 $\mathcal P^{NA}(H)$，不使用 $\Pi$ 表示价格集合。

正文主要使用连续时间记号，以便与后续 stochastic models 和 pricing PDE 衔接。关于 FTAP、attainability 与 completeness，本文正式援引的是 Schweizer–Farkas 的有限离散时间版本；一般连续时间结果所需的 NFLVR、semimartingale admissibility 等条件只说明用途，不在这里证明。

1. 价格是相对于什么市场模型定义的？

先给出一个 European-style terminal claim：

$$ H=\Phi(S_T;K). $$

例如 call option 对应

$$ \Phi(S_T;K)=(S_T-K)^+. $$

这一定义只规定了到期现金流，并没有规定今天的价格。要讨论价格，至少还要给出三个对象：市场在什么信息下演化、哪些资产可以交易，以及这些资产的价格如何变化。

信息与 physical measure

用 filtered probability space

$$ (\Omega,\mathcal F,\mathbb F,\mathbb P), \qquad \mathbb F=(\mathcal F_t)_{0\le t\le T}, $$

描述不确定性与信息流。$\mathcal F_t$ 表示时刻 $t$ 已经观察到的信息，$\mathbb P$ 是 physical measure：它描述模型中的现实世界事件怎样发生。

一个基础连续时间模型可以写成

$$ dS_t \mathrel{=} \mu_t^{\mathbb P}S_t\,dt + \sqrt{v_t}\,S_t\,dW_t^{\mathbb P}, $$

其中 $W^{\mathbb P}$ 是 $\mathbb P$ 下的 Brownian motion，$v_t$ 是 instantaneous variance。这个 SDE 是模型假设，不是数学定理，也不是关于真实市场的经验事实。选择 diffusion、jump process、stochastic volatility 或其他 dynamics，等于选择哪些路径和风险来源被模型允许出现。

可交易资产与 numeraire

基础市场中再加入 money-market account：

$$ dB_t=r(t)B_t\,dt, \qquad B_0>0. $$

$B_t$ 是可交易的 reference asset，也可以作为 numeraire。若确定性曲线 $r(u)$ 可积，则

$$ B_t \mathrel{=} B_0\exp\left(\int_0^t r(u)\,du\right). $$

本文的基础版本先假设标的在持有期间没有中间现金流。若资产支付 dividend 或 coupon，交易收益不能只用 ex-dividend price $S_t$ 表示，而应改用 total-gain process。若累计现金流记为 $D_t$，则相应的 gain increment 写成

$$ dG_t=dS_t+dD_t. $$

后文所有关于 self-financing 的公式，在存在中间现金流时都应把 $dS_t$ 替换为相应的 total-gain increment。

到这里，claim 与 market model 才被放在同一个数学环境中。关键不是给 $S_T$ 指定一个概率分布后直接计算 $\mathbb E^{\mathbb P}[H]$，而是先问：市场中有哪些资产可以用来交易和比较这个 payoff？

同一个 $H$ 放入不同市场，可能得到完全不同的结论。如果市场中只有 bank account，它通常无法复制一个依赖 $S_T$ 的 nonlinear payoff；如果市场允许连续交易标的，并满足 Black–Scholes 的理想化条件，同一个 payoff 可能变得 attainable。因此：

$$ \boxed{ \begin{aligned} &\text{price 不是 }H\text{ 的内禀属性，}\\ &\text{而是 }H\text{ 相对于 market model 与}\\ &\text{trading opportunities 的值。} \end{aligned} } $$

市场对象定义完成后，下一步仍不是定价，而是限定哪些动态交易可以进入论证。

2. 什么样的交易策略可以进入定价论证？

若允许交易者预知未来、无限借贷且永不破产，或者在策略执行期间不断从外部注资，那么“复制”与“套利”都失去约束力。定价论证必须先规定合法策略集合。

考虑一个由标的与 bank account 组成的 strategy

$$ \varphi=(h,\psi), $$

其中 $h_t$ 是时刻 $t$ 持有的标的数量，$\psi_t$ 是持有的 bank-account units。组合价值是一个会计恒等式：

$$ \boxed{ \Pi_t=h_tS_t+\psi_tB_t. } $$

Predictability 与 integrability

$h$ 和 $\psi$ 必须适应市场信息。更准确地说，交易策略通常要求 predictable：时刻 $t$ 的仓位只能依据交易发生之前已经获得的信息决定，不能利用尚未出现的价格变化。

同时，策略必须对相应价格过程可积，使

$$ \int_0^t h_u\,dS_u, \qquad \int_0^t \psi_u\,dB_u $$

具有数学意义。Predictability 约束信息使用，integrability 保证 gains process 被定义；二者都不意味着策略能够复制任何给定 claim。

Self-financing 是资金约束，不是复制结论

Self-financing strategy 满足

$$ \boxed{ \Pi_t \mathrel{=} \Pi_0 + \int_0^t h_u\,dS_u + \int_0^t \psi_u\,dB_u. } $$

微分形式是

$$ d\Pi_t=h_t\,dS_t+\psi_t\,dB_t. $$

这条等式的含义不是“持仓不变”，而是持仓调整只能通过组合内部的买卖完成。增加标的仓位所需的资金必须来自卖出其他资产或减少 cash position；组合价值的变化只来自所持资产的 gains，不包含额外注资或提款。

因此，self-financing 是 strategy 的一个约束，不是 dynamics 自动推出的性质，更不是 replication 的充分条件。

Admissibility 排除 doubling strategies

仅有 self-financing 仍可能允许 pathological strategies。例如一个策略可以在连续亏损时不断扩大赌注，只要最终有一次反转便获利；这种策略依赖无限信用额度，不能作为无套利定价的基础。

一种常见的 admissibility 条件是要求 discounted wealth 存在统一下界：对某个有限的 $a\ge0$，

$$ \widetilde\Pi_t\ge -a, \qquad 0\le t\le T, $$

其中

$$ \widetilde\Pi_t:=\frac{\Pi_t}{B_t}. $$

这相当于承认交易者可以负债，但信用额度不能沿着不利路径无限扩张。具体 admissibility 定义依模型而异；它的共同作用是排除通过无限杠杆制造的虚假套利。1

一般 continuous-time semimartingale framework 中还有更细致的 admissibility definitions；本文只需要它们共同承担的经济约束，即排除依赖无限信用额度的策略。

Discounting 把融资账户从 gains equation 中消去

定义

$$ \widetilde S_t:=\frac{S_t}{B_t}, \qquad \widetilde\Pi_t:=\frac{\Pi_t}{B_t}. $$

在基础无股息模型中，self-financing 等价于

$$ \boxed{ d\widetilde\Pi_t \mathrel{=} h_t\,d\widetilde S_t. } $$

换句话说，discounted portfolio 的变化只来自 discounted risky asset 的 gains。这个表示是 martingale pricing 的入口：一旦找到一个 measure，使 $\widetilde S$ 成为 martingale，合法 self-financing strategy 的 discounted gains 也会受到 martingale 结构约束。

但此时我们仍然只定义了合法交易。下一问才是：在这些策略中，是否存在一个策略能够实现目标 payoff？

3. 给定 claim 是否能够被复制？

给定 admissible self-financing strategy $\varphi$，若

$$ \boxed{ \Pi_T^{\varphi}=H \quad \mathbb P\text{-a.s.}, } $$

则称 $H$ 是 attainable，$\varphi$ 是 $H$ 的 replicating strategy。其初始财富

$$ \boxed{ c(H):=\Pi_0^{\varphi} } $$

称为这条策略的 replication cost。在尚未施加 no-arbitrage 前，这个成本原则上仍可能依赖所选 replicating strategy；下一节才会证明，在无套利市场中，不同复制策略不能具有不同的初始成本。

这里的逻辑只到“价格候选”为止。复制说明可以用现有 tradables 生产与 $H$ 相同的 terminal cash flow，却还没有证明市场必须以 $c(H)$ 交易这个 claim。要得到后一结论，还需要下一节的 no-arbitrage。

Completeness 是关于整个 claim space 的性质

若模型中的每个相关 terminal claim 都 attainable，则称市场 complete；否则称为 incomplete。

这一定义是相对于三样东西作出的：claim space、可交易资产集合与 admissible strategy class。改变其中任何一个，complete / incomplete 的结论都可能改变。它不是对真实市场脱离模型作出的绝对判断。

Black–Scholes 中，复制仓位从哪里来？

Black–Scholes 提供了最清楚的连续时间例子。先采用以下模型假设：

  • 标的路径连续，满足 geometric Brownian motion；
  • volatility 已知且在模型中可用；
  • 可以连续交易标的与 bank account；
  • 市场无 bid–ask、transaction costs、funding constraints 与 position limits；
  • 基础版本无中间 dividend。

设一个足够光滑的 candidate value function 为

$$ V=V(t,s;K,T;\boldsymbol\vartheta), \qquad V(T,s;K,T;\boldsymbol\vartheta)=\Phi(s;K). $$

在实际状态 $s=S_t$ 上，Itô formula 给出

$$ \begin{aligned} dV_t ={}& \left( \partial_tV + \mu_t^{\mathbb P}S_t\partial_sV + \frac12\sigma^2S_t^2\partial_{ss}V \right)dt \\ &+ \sigma S_t\partial_sV\,dW_t^{\mathbb P}. \end{aligned} $$

另一方面，self-financing portfolio 满足

$$ d\Pi_t=h_t\,dS_t+\psi_t\,dB_t. $$

若 $\Pi$ 要沿路径复制 $V$，两者的 Brownian exposure 必须相同，因此标的仓位被迫满足

$$ \boxed{ h_t \mathrel{=} \left. \frac{\partial V}{\partial s} (t,s;K,T;\boldsymbol\vartheta) \right|_{s=S_t}. } $$

相应的 cash position 由价值恒等式确定：

$$ \psi_tB_t \mathrel{=} V_t-h_tS_t. $$

这就是 Black–Scholes replication 中的 hedge ratio。它不是因为“Delta 很重要”而额外定义的指标，而是为了匹配标的随机扰动而从 replication condition 中产生的持仓数量。2

不过，匹配 Brownian term 只解决了局部随机项。要使整个策略从当前一直复制到 $T$，finite-variation term、terminal condition、regularity、integrability 与 strategy admissibility 也必须同时成立。相应的 drift compatibility 最终会成为 Black–Scholes PDE；本文在完成 no-arbitrage 与 martingale-measure 论证后，于第 6 节再把它写成完整的 pricing operator。

这也说明 self-financing 与 replication 之间不能画等号：self-financing 只说明资金从哪里来，replication 还要求市场中的 tradable risks 足以 span claim 的全部随机性。

4. 为什么 replication cost 能成为无套利价格？

Arbitrage 不是“收益率很高”，而是一种特定的零成本 dominance。基础定义是存在 admissible self-financing strategy，使

$$ \boxed{ \Pi_0=0, \qquad \Pi_T\ge0\quad\mathbb P\text{-a.s.}, \qquad \mathbb P(\Pi_T>0)>0. } $$

No-arbitrage 要求不存在这样的 strategy。

现在假设 $H$ attainable，复制成本为 $c(H)$，同时市场试图以价格 $p$ 交易这个 claim。

若

$$ p>c(H), $$

交易者可以卖出价格更高的 claim，用 $c(H)$ 建立复制它的 portfolio，并将差额投入 bank account。到期时，replicating portfolio 的 $H$ 正好抵消 short claim 的 $-H$，初始差额则无风险增长。

若

$$ p\lt c(H), $$

则反向操作：买入便宜的 claim，卖空复制组合，并投资初始差额。到期时两笔 terminal cash flow 再次抵消，只留下无风险收益。

因此，在允许上述交易、且扩展市场保持 no-arbitrage 的前提下，只有

$$ p=c(H) $$

可行。若定义 $\mathcal P^{NA}(H)$ 为把 claim 加入原市场后仍不产生 arbitrage 的初始价格集合，则

$$ \boxed{ H\text{ attainable} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal P^{NA}(H)=\lbrace c(H)\rbrace. } $$

这就是 law of one price 在 replication framework 中的形式：相同 future cash flows 必须具有相同 current value，否则可以买便宜的一边、卖昂贵的一边。1

Replication 与 no-arbitrage 承担不同角色

这里必须区分两个前提：

  • replication 产生一个与 $H$ 相同的 terminal payoff；
  • no-arbitrage 排除这个 payoff 与复制组合以不同价格交易。

Replication 本身不推出市场无套利，no-arbitrage 本身也不保证每个 claim 都能被复制。只有二者合并，才能得到 attainable claim 的唯一 replication price。

Unattainable claim 不会自动获得唯一价格

若 $H$ unattainable，就不存在一个可直接与其逐路径对消的 exact replicating portfolio。此时 no-arbitrage 仍能限制可接受价格；在许多具体模型中，这会留下一个由 hedging bounds 约束的价格区间。本文不展开该区间的构造，只保留这里需要的结论：no-arbitrage 通常不再把价格集合压缩成单点。

因此不能从

$$ \text{market is arbitrage-free} $$

直接跳到

$$ \text{every claim has one unique price}. $$

Incomplete market 中对 unattainable claim 给出一个具体价格，还需要额外的 pricing-measure selection、preferences、hedging criterion 或其他 selection rule。这些额外结构属于模型 specification，而不是 no-arbitrage 定理自动提供的结论。

逐个 claim 寻找复制策略并不高效。下一步需要一种统一方法，把 no-arbitrage 转写成 probabilistic condition。

5. Martingale measure 解决了什么问题，何时给出唯一价格？

以 bank account $B$ 为 numeraire，定义 discounted price

$$ \widetilde S_t:=\frac{S_t}{B_t}. $$

若存在概率测度 $\mathbb Q$，满足

$$ \mathbb Q\sim\mathbb P $$

并使

$$ \boxed{ \widetilde S \text{ is a local martingale under }\mathbb Q. } $$

则称 $\mathbb Q$ 为 equivalent local martingale measure。等价性 $\mathbb Q\sim\mathbb P$ 表示二者具有相同的 null events；measure change 改变概率权重，但不把在 physical model 中可能发生的路径删掉或凭空加入新路径。

FTAP 把经济条件变成概率条件

在 finite discrete time，并在 discounted market、$\mathcal F_0$ trivial 等标准前提下，第一基本定理可以简写为

$$ \boxed{ \text{NA} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathcal Q\neq\varnothing, } $$

其中 $\mathcal Q$ 是 equivalent martingale measures 的集合。在相应的 claim space 与 terminal information 已固定时，第二基本定理进一步给出

$$ \boxed{ \text{NA + completeness} \quad\Longleftrightarrow\quad |\mathcal Q|=1. } $$

因此：

  • martingale measure 的存在对应 no-arbitrage；
  • martingale measure 的唯一性对应 completeness。

No-arbitrage 本身从未推出 unique $\mathbb Q$。1

在 continuous time，一般结论不能只使用最朴素的 one-shot arbitrage definition。经典 semimartingale framework 需要以 NFLVR（no free lunch with vanishing risk）等闭合条件替代简单 NA，并将结论表述为 equivalent local martingale measure 的存在。

本文后续只使用这项结论提供的 pricing interface，不展开 continuous-time FTAP 的完整技术版本。

为什么条件期望等于 attainable claim 的价格？

若 $H$ attainable，存在 admissible self-financing strategy 复制它。Discounted wealth 满足

$$ d\widetilde\Pi_t=h_t\,d\widetilde S_t. $$

Equivalent local martingale measure 本身只给出 local-martingale property，并不自动推出条件期望等式。若再有足够的 integrability / admissibility，使 discounted replicating wealth 成为 true $\mathbb Q$-martingale，才有

$$ \widetilde V_t \mathrel{=} \mathbb E^{\mathbb Q} \left[ \widetilde V_T \middle| \mathcal F_t \right]. $$

利用

$$ \widetilde V_T=\frac{H}{B_T}, $$

得到

$$ \boxed{ V_t \mathrel{=} B_t\, \mathbb E^{\mathbb Q} \left[ \frac{H}{B_T} \middle| \mathcal F_t \right], \qquad \frac{H}{B_T}\in L^1(\mathbb Q). } $$

这不是与 replication 竞争的第二套定价原则，而是同一结论的另一种表示：

$$ \boxed{ \text{replication value} \mathrel{=} \text{discounted }\mathbb Q\text{-conditional expectation}. } $$

对于 attainable claim，即使市场 incomplete、$\mathcal Q$ 中存在多个 measures，上述 conditional expectation 也必须对所有 admissible $\mathbb Q$ 给出同一个复制价值。否则，同一个 attainable payoff 会获得两个不同 replication prices，与 law of one price 冲突。

对于 unattainable claim，情况恰好相反：

$$ \mathbb E^{\mathbb Q_1} \left[ \frac{H}{B_T} \middle| \mathcal F_t \right] $$

与

$$ \mathbb E^{\mathbb Q_2} \left[ \frac{H}{B_T} \middle| \mathcal F_t \right] $$

可能不同。此时“选一个 risk-neutral measure 取期望”已经包含额外选择，不能伪装成 no-arbitrage 唯一决定的结果。Schweizer–Farkas 特别提醒，若 payoff unattainable，valuation 可能依赖所选 ELMM，hedging 也未必存在。1

Risk-neutral 不等于真实世界中的风险中性

$\mathbb Q$ 是 pricing measure，不是关于投资者偏好的陈述，也不等于 physical measure $\mathbb P$。在 Black–Scholes 模型中，physical dynamics 可以是

$$ dS_t \mathrel{=} \mu^{\mathbb P}S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb P}, $$

而在以 $B$ 为 numeraire 的 pricing measure 下写成

$$ dS_t \mathrel{=} rS_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb Q}. $$

Drift 从 $\mu^{\mathbb P}$ 变为 $r$，并不表示真实预期收益率等于 risk-free rate；它表示 discounted tradable price 在所选 pricing measure 下具有 martingale structure。$\mathbb P$ 仍负责描述 market moves 如何发生，$\mathbb Q$ 负责在已指定的 pricing model 中给这些 moves 定价。二者的风险管理分工将在 03 期权组合的 PnL 如何分解？ 第 2 节汇合。

条件期望已经给出抽象价格，但 calibration 不能直接调用“存在一个期望”。还需要把它变成输入与输出明确的 forward pricing operator。

6. 抽象 martingale price 如何变成可求解的 pricing operator？

假设在已经指定的 pricing measure $\mathbb Q$ 下，定价所需的 Markov state process 记为 $\mathbf Z$，其 dynamics 为

$$ d\mathbf Z_t \mathrel{=} \mathbf b^{\mathbb Q} (t,\mathbf Z_t;\boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q})\,dt + \mathbf a (t,\mathbf Z_t;\boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q}) \,d\mathbf W_t^{\mathbb Q}, $$

其中

$$ \boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q} \in \mathcal A_{\vartheta}^{\mathbb Q} $$

是 risk-neutral parameter vector 及其 admissible domain。把 state argument 写成

$$ \mathbf z=(s,\boldsymbol\xi), $$

其中第一项 $s$ 是 spot state，其余分量 $\boldsymbol\xi$ 可以容纳 volatility、rates 或其他定价状态。

对足够光滑的 test function $f$，infinitesimal generator 为

$$ \mathcal L^{\mathbb Q}f \mathrel{=} (\mathbf b^{\mathbb Q})^\top\nabla f + \frac12 \operatorname{Tr} \left( \mathbf a\mathbf a^\top\nabla^2 f \right). $$

Conditional expectation 变成 terminal-value PDE

若 short rate 可以写为 $r(t,\mathbf Z_t)$，则 terminal claim 的 pricing representation 是

$$ \begin{aligned} V(t,\mathbf z;K,T;\boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q}) ={}& \mathbb E^{\mathbb Q} \left[ \exp\left( -\int_t^T r(u,\mathbf Z_u)\,du \right) \Phi(S_T;K) \middle| \mathbf Z_t=\mathbf z \right]. \end{aligned} $$

在 Markov property、integrability、coefficient regularity、solution regularity 与 uniqueness 等条件成立时，Feynman–Kac correspondence 将其转写为

$$ \boxed{ \begin{aligned} &\partial_tV+\mathcal L^{\mathbb Q}V-rV=0,\\ &V\!\left(T,(s,\boldsymbol\xi);K,T;\boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q}\right) = \Phi(s;K). \end{aligned} } $$

这条 PDE 不是额外的价格假设，而是同一个 martingale price 在 Markov coordinates 下的 deterministic representation。3

Black–Scholes 是这张 operator 的一个特例

在无 dividend 的 Black–Scholes model 下，state 只有 spot，$\mathbb Q$ dynamics 为

$$ dS_t=rS_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t^{\mathbb Q}. $$

Generator 是

$$ \mathcal L^{\mathbb Q}f \mathrel{=} rs\,\partial_sf + \frac12\sigma^2s^2\,\partial_{ss}f. $$

于是上一节的抽象 PDE 具体化为

$$ \boxed{ \partial_tV + \frac12\sigma^2s^2\partial_{ss}V + rs\partial_sV -rV =0, \qquad V(T,s)=\Phi(s;K). } $$

这正是第 3 节 replication 中尚未写出的 drift compatibility condition。第 3 节通过匹配随机项得到

$$ h_t=\partial_sV(t,S_t), $$

本节则通过 no-arbitrage / martingale representation 确定 $V$ 必须满足的 terminal-value problem。两者合在一起，才形成完整的 Black–Scholes pricing-and-replication statement。2

若利率 deterministic，定义 discount factor

$$ D(t,T) := \exp\left(-\int_t^T r_u\,du\right), $$

则同一价格也可以写成

$$ V_t \mathrel{=} D(t,T) \mathbb E^{\mathbb Q} \left[ H \middle| \mathcal F_t \right]. $$

Closed form 并不是 pricing operator 成立的必要条件。PDE、PIDE、Fourier inversion、quadrature 与 Monte Carlo 都可能是同一 forward problem 的不同求解方式。具体 forward solver 与 inverse problem 属于 02 市场报价如何变成模型标价？ 第 3—5 节；本文只负责说明被求解的对象从哪里来。

贯穿算例（一）：给定参数后，价格与复制仓位是什么？

考虑一份半年后到期的 European call：

$$ S_t=100, \qquad K=105, \qquad T-t=0.5, \qquad r=2\%, \qquad q=0. $$

本篇先把 $\sigma=21\%$ 当作已经给定的 pricing input；下一篇再说明这个数字怎样由市场 quotes 得到。Black–Scholes operator 给出

$$ V_t=4.2623, \qquad \Delta_t=0.42584. $$

因此，复制一单位 long call 的当前组合包含 $0.42584$ 股标的，cash leg 为

$$ V_t-\Delta_tS_t \mathrel{=} -38.3215. $$

负号表示复制组合需要借入资金。这个数字只是当前时刻的 snapshot；当 spot 与剩余期限变化时，$\Delta$ 与 cash position 都要随之调整。

再假设 physical drift 为 $\mu^{\mathbb P}=8\%$。同一个 payoff 在 $\mathbb P$ 下的贴现期望约为

$$ e^{-r(T-t)} \mathbb E^{\mathbb P} \left[(S_T-K)^+\mid\mathcal F_t\right] \mathrel{=} 5.6815, $$

并不等于 $4.2623$。两者的差异不是计算误差：$\mathbb P$ 期望描述 physical distribution，$\mathbb Q$ price 则与复制和无套利结构相连。

下面的代码允许修改参数并重新计算这些数量。

Python Ready

这里使用的是带条件的 Feynman–Kac correspondence：它不声称任意 payoff 与任意 coefficients 都自动满足 classical-solution existence 与 uniqueness。

Change of numeraire 改变表示，不改变价格

Bank account 不是唯一可用的 numeraire。设 $N_t>0$ 是另一个 strictly positive tradable numeraire，$\mathbb Q$ 是以 $B$ 为 numeraire 的 pricing measure。相应的 $N$-measure 形式上由

$$ \left. \frac{d\mathbb Q^N}{d\mathbb Q} \right|_{\mathcal F_T} \mathrel{=} \frac{B_0N_T}{N_0B_T} $$

给出。满足相应 integrability 条件时，price representation 变为

$$ \boxed{ V_t \mathrel{=} N_t \mathbb E^{\mathbb Q^N} \left[ \frac{H}{N_T} \middle| \mathcal F_t \right]. } $$

左侧仍是同一个货币价格。变化的是计价单位、discounted object 与相应 martingale measure，而不是同一 claim 在同一市场中的经济价值。不同 numeraire 只是为不同 payoff 选择更方便的表示。

本文只使用 change of numeraire 的价格表示，不展开 density-process martingale conditions 与一般证明。

结语：价格不是从期望开始，而是从可交易比较开始

一个 payoff 只有相对于特定 market、tradables 与 admissible strategies 才谈得上 replication。对 attainable claim，replication 与 no-arbitrage 共同确定唯一价格；completeness 则要求整个相关 claim space 都具有这种性质。若 claim unattainable，选取 pricing measure、hedging criterion 或 preference 已经属于额外的模型选择。

在指定 numeraire、pricing convention、parameter domain 与 solver interface 后，这些结论可以压缩成逐合约 pricing operator：

$$ \boxed{ \begin{aligned} V_t^i &=\mathcal M^{\mathbb Q}\!\left( \mathbf x_{t,i};\boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q} \right),\\ \boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q} &\in\mathcal A_{\vartheta}^{\mathbb Q}, \qquad V_t^i\in\mathbb R. \end{aligned} } $$

$\mathbf x_{t,i}$ 包含当前 pricing state、合约坐标、payoff specification、curve inputs 与测度约定；$\mathcal M^{\mathbb Q}$ 对一份合约返回一个标量。它尚未给出当前市场参数，也没有规定 quote cleaning、calibration objective 或 optimizer。 02 市场报价如何变成模型标价？ 从这里继续，说明市场 quotes 怎样把这张 forward map 变成当天可用的 model mark。

参考文献与适用范围

本文不证明 continuous-time FTAP / NFLVR、formal Feynman–Kac theorem 的完整 regularity / uniqueness 条件，以及 general change-of-numeraire theorem；相关公式只在正文注明的条件下使用。

  1. Martin Schweizer and E. W. Farkas, Mathematical Foundations for Finance, ETH Zürich lecture notes, version dated December 22, 2022. 本文主要使用其 financial market / trading strategy、self-financing、admissibility、arbitrage、finite-discrete-time FTAP、attainable payoff 与 completeness。除非另有说明，本文援引的正式 FTAP 与 completeness 结论以有限离散时间版本为准。 ↩︎ ↩︎ ↩︎ ↩︎

  2. Paul Wilmott, Paul Wilmott on Quantitative Finance. 本文主要使用其 Black–Scholes dynamic replication、delta hedge 与 pricing PDE 的论证。这里使用 Black–Scholes 作为 replication mechanism 的例子，不在第一篇展开 closed-form formula、完整 Greeks taxonomy 或实际 hedging error。 ↩︎ ↩︎

  3. N. Hilber, O. Reichmann, C. Schwab and C. Winter, Computational Methods for Quantitative Finance, Springer, 2013. 本文主要使用其 risk-neutral pricing equation、infinitesimal generator、Feynman–Kac representation 与 deterministic pricing problem 的框架；具体 numerical discretization 留到下一篇。 ↩︎