用两次掷硬币和一棵简化股价树，直观解释样本空间、事件、σ-代数、概率测度、随机变量与域流如何刻画可能结果和随时间累积的信息；本文可作为 Mathematical Foundations for Finance: Handbook 第 1 章的通俗版解释。

概率论的形式化语言常显得抽象，因为它同时回答三个不同的问题：哪些结果可能发生，哪些关于结果的问题允许被讨论，以及怎样给这些事件赋予概率。样本空间、σ-代数和概率测度分别承担这三项工作。

1. 从样本空间到事件

考虑连续投掷两次硬币。用 $\mathrm H$ 表示正面，用 $\mathrm T$ 表示反面。一次完整试验的所有可能结果组成样本空间

$$ \Omega = \{\mathrm{HH},\mathrm{HT},\mathrm{TH},\mathrm{TT}\}. $$

样本空间中的一个点 $\omega$ 是一条完整路径。例如，$\omega=\mathrm{HT}$ 表示第一次为正面、第二次为反面。

事件是 $\Omega$ 的一个子集，也可以理解成一个答案为“是”或“否”的问题。例如，

$$ A = \{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\} $$

表示“第一次投掷得到正面”。试验结果为 $\omega$ 时，这个事件发生当且仅当 $\omega\in A$。

集合族

$$ C_1=\{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\}, \qquad C_2=\{\mathrm{TH},\mathrm{TT}\} $$

构成 $\Omega$ 的一个划分，因为 $C_1\cap C_2=\varnothing$ 且 $C_1\cup C_2=\Omega$。划分中的每一块代表观察者目前无法进一步区分的一组路径；由这些块及其并集得到的事件，代表观察者能够回答的问题。

更一般地，一族非空集合 $(C_i)_{i\in I}$ 若满足

$$ C_i\cap C_j=\varnothing \quad (i\ne j), \qquad \bigcup_{i\in I}C_i=\Omega, $$

就称为 $\Omega$ 的一个划分。划分越细，观察者能区分的路径越多。

2. 为什么需要 σ-代数

并非任意挑选的一组事件都适合进行概率运算。如果能够讨论事件 $A$，就也应当能够讨论“$A$ 不发生”；如果能够讨论一列事件，也应当能够讨论“其中至少一个发生”。σ-代数把这些封闭性要求写成精确的集合条件。

对于上面的硬币试验，只观察第一次投掷时得到的 σ-代数为

$$ \mathcal F^{(1)} = \{ \varnothing, \Omega, \{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\}, \{\mathrm{TH},\mathrm{TT}\} \}. $$

它只允许回答“第一次是正面吗”以及由此得到的等价问题。若能观察两次投掷的完整结果，则可以使用幂集

$$ 2^\Omega=\{A:A\subseteq\Omega\}, $$

其中包含全部 $16$ 个子集。若 $\mathcal F\subseteq\mathcal G$，则 $\mathcal G$ 至少包含 $\mathcal F$ 中的所有问题，因此代表不少于 $\mathcal F$ 的信息。

3. 从测度到概率

如果两次投掷相互独立且硬币均匀，那么

$$ \mathbb P(\{\omega\})=\frac14 \qquad (\omega\in\Omega). $$

因此，任意事件的概率等于它所包含的路径数除以 $4$。例如，

$$ \mathbb P(\{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\})=\frac12. $$

σ-代数规定哪些问题可以问，概率测度则给出这些问题的概率答案。

4. 当前状态与累积历史

令随机过程 $S=(S_0,S_1,S_2)$ 表示一棵简化股价树：

$$ S_0(\omega)=4, $$$$ S_1(\omega) = \begin{cases} 8, & \omega_1=\mathrm H,\\ 2, & \omega_1=\mathrm T, \end{cases} $$

以及

$$ S_2(\omega) = \begin{cases} 16, & \omega=\mathrm{HH},\\ 4, & \omega\in\{\mathrm{HT},\mathrm{TH}\},\\ 1, & \omega=\mathrm{TT}. \end{cases} $$

4.1 只看当前价格

随机变量 $S_k$ 生成的 σ-代数记为

$$ \mathcal G_k=\sigma(S_k). $$

它包含仅凭时刻 $k$ 的当前价格能够判断的全部事件。在本例中，

$$ \mathcal G_0=\{\varnothing,\Omega\}, $$$$ \mathcal G_1 = \{ \varnothing, \Omega, \{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\}, \{\mathrm{TH},\mathrm{TT}\} \}, $$

而

$$ \begin{aligned} \mathcal G_2 = \{& \varnothing,\Omega, \{\mathrm{HH}\}, \{\mathrm{TT}\}, \{\mathrm{HT},\mathrm{TH}\},\\ & \{\mathrm{HH},\mathrm{TT}\}, \{\mathrm{HH},\mathrm{HT},\mathrm{TH}\}, \{\mathrm{HT},\mathrm{TH},\mathrm{TT}\} \}. \end{aligned} $$

在时刻 $2$，当前价格 $S_2=4$ 无法区分 $\mathrm{HT}$ 与 $\mathrm{TH}$。更关键的是，

$$ \{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\}\in\mathcal G_1 \qquad\text{但}\qquad \{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\}\notin\mathcal G_2. $$

所以 $\mathcal G_1\nsubseteq\mathcal G_2$，族 $(\mathcal G_k)_{k=0,1,2}$ 不是域流。只记录当前状态，可能会丢掉过去的信息。

4.2 记录截至当前的全部历史

过程 $S$ 的自然域流定义为

$$ \mathcal F_k^S = \sigma(S_0,S_1,\ldots,S_k). $$

在本例中，

$$ \mathcal F_0^S=\mathcal G_0, \qquad \mathcal F_1^S=\mathcal G_1, \qquad \mathcal F_2^S=2^\Omega. $$

原因是观察 $(S_1,S_2)$ 能够区分全部四条路径：$(8,16)$、$(8,4)$、$(2,4)$ 和 $(2,1)$ 分别对应 $\mathrm{HH}$、$\mathrm{HT}$、$\mathrm{TH}$ 和 $\mathrm{TT}$。

若随机变量 $X_k$ 对 $\mathcal F_k$ 可测，就称过程 $X=(X_k)$ 适应于域流 $\mathbb F$。它表达的原则是：时刻 $k$ 的状态可以由时刻 $k$ 已有的信息确定，不能依赖未来信息。

5. 随机变量怎样生成信息

若 $h:\mathbb R\to\mathbb R$ 连续，则 $h$ 是 Borel 可测的，因此 $h(X)$ 对 $\sigma(X)$ 可测。对 $h(X)$ 的任何判断都不需要比观察 $X$ 更多的信息。

这里有两个容易混淆的对象：

  • $\sigma(S_k)$ 描述只观察当前值 $S_k$ 时的信息；
  • $\sigma(S_0,\ldots,S_k)$ 描述截至时刻 $k$ 保存的完整观察历史。

前者随时间未必递增；后者构成过程的自然域流。

附录：一道关于 σ-代数与域流的练习

设 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ 是一个概率空间，其中

$$ \Omega=\{\mathrm{UU},\mathrm{UD},\mathrm{DD},\mathrm{DU}\}, \qquad \mathcal F=2^\Omega, \qquad \mathbb P(\{\omega\})=\frac14 \quad (\omega\in\Omega). $$

因此，$\mathbb P$ 是 $\Omega$ 上的均匀概率测度。考虑随机变量 $Y_1,Y_2:\Omega\to\mathbb R$，其定义为

$$ \begin{aligned} Y_1(\mathrm{UU})&=Y_1(\mathrm{UD})=2, & Y_1(\mathrm{DD})&=Y_1(\mathrm{DU})=\frac12,\\ Y_2(\mathrm{UU})&=Y_2(\mathrm{DU})=2, & Y_2(\mathrm{DD})&=Y_2(\mathrm{UD})=\frac12. \end{aligned} $$

定义随机过程

$$ X=(X_k)_{k=0,1,2}, \qquad X_0=8, \qquad X_k=X_0\prod_{i=1}^{k}Y_i, \quad k=1,2. $$

  1. 证明：对于任意连续函数 $h:\mathbb R\to\mathbb R$，复合函数 $h(X_1)$ 都是 $\sigma(X_1)$-可测的。

  2. 画一棵树，说明过程 $X$ 从时刻 $0$ 到时刻 $2$ 的所有可能演化，并标出相应的转移概率和路径概率。

  3. 对于 $k=0,1,2$，写出下列 σ-代数中的全部集合：

    $$ \mathcal F_k=\sigma(X_i:0\leq i\leq k), \qquad \mathcal G_k=\sigma(X_k). $$

  4. 考虑两族 σ-代数

    $$ \mathbb F=(\mathcal F_k)_{k=0,1,2}, \qquad \mathbb G=(\mathcal G_k)_{k=0,1,2}. $$

    它们是否构成 $(\Omega,\mathcal F)$ 上的域流？为什么？

  5. 如果它们确为域流，过程 $X$ 是否适应于 $\mathbb F$ 或 $\mathbb G$？

  6. 给出 $X$、$\mathbb F$ 和 $\mathbb G$ 的金融解释。