读 Jim Gatheral 的 The Volatility Surface 后，尝试把全书整理成三个相连的问题及回答：模型怎样复制今天的 vanilla surface，怎样预测明天的 surface，以及产品为什么会在意两者之间的差异。
先从最基本的问题开始：波动率曲面究竟是什么？市场直接给出的是一组欧式期权价格。将每个价格反解成 Black–Scholes 隐含波动率，再以远期对数在值度
$$ k=\log\frac{K}{F_{0,T}} $$和期限 $T$ 为坐标，便得到隐含波动率曲面：
$$ (k,T)\longmapsto \sigma_{\mathrm{imp}}(k,T). $$简单说，波动率曲面只是把每个期权价格换算成一个隐含波动率，再按 strike 和期限排在一起。若所有 strike 都有报价，我们可以从中恢复市场为各个到期价格赋予的风险中性概率；现实中只有少量报价，其余部分需要插值和外推。但知道一个月、三个月和一年后的价格分布，并不知道价格在中间怎样走。许多模型都能拟合今天的曲面，却会给出不同的未来曲面。Gatheral 的前7章讨论怎样拟合今天，第8章讨论曲面以后怎样变化，第9至11章再讨论这些差异会怎样影响产品定价。
静态一致性：模型能否复制今天的 European option prices？
静态问题可以分成两步：先从市场价格构造一张无套利曲面，再选择一个模型解释这张曲面的形状。Local volatility 直接从价格曲面反演扩散系数；Heston 则保留随机方差状态，解释 skew 和 curvature 从何而来。
$$ \frac{dS_t}{S_t}=(r-q)\,dt+\sigma_{\mathrm{loc}}(S_t,t)\,dW_t. $$只要 call-price surface 足够平滑且没有静态套利，Dupire 方程就能从价格反推出 local volatility。在零利率、零分红的简化下，
$$ \sigma_{\mathrm{loc}}^2(K,T) =\frac{2\,\partial_T C(K,T)} {K^2\,\partial_{KK}C(K,T)}. $$这个公式的直观含义可以从 stochastic-volatility model 看出来。若瞬时方差为 $v_t$，那么复制相同终点分布的 local variance 满足
$$ \boxed{ \sigma_{\mathrm{loc}}^2(K,T) =\mathbb E^{\mathbb Q}\!\left[v_T\mid S_T=K\right]. } $$也就是说，把所有最终落在 $S_T=K$ 的路径找出来，再对它们在到期时刻的瞬时方差 $v_T$ 取平均，就得到 local variance。它保留“最后落在哪里”的概率，却不保留“怎样走到那里”。这对 European payoff 足够，对 barrier、多时点 payoff 和动态对冲则未必。
而 Heston 把瞬时方差作为一个独立状态一起建模：
$$ \begin{aligned} dS_t&=(r-q)S_t\,dt+\sqrt{v_t}S_t\,dW_t^S,\\ dv_t&=\kappa(\theta-v_t)\,dt+\xi\sqrt{v_t}\,dW_t^v,\\ d\langle W^S,W^v\rangle_t&=\rho\,dt. \end{aligned} $$$v_0$ 大致决定短期限 ATM volatility，$\theta$ 是长期平均的瞬时方差水平，$\kappa$ 决定回到长期水平的速度；$\xi$ 影响 smile 的弯曲程度，$\rho$ 则影响 spot 下跌时 volatility 会不会同时上升。这些参数会互相补偿：$\kappa$ 与 $\theta$、$\rho$ 与 $\xi$ 往往只能以某种组合被报价约束。因此，拟合得好不代表参数唯一，重新校准后参数和 Greeks 也可能明显变化。Heston 的 affine structure 让 European pricing 可以用 characteristic-function methods 高效完成，所以它既便于解释，计算成本也低，适合反复 calibration 和模型比较。
另外，我们无法通过已有的一个 smile 识别曲面的生成机制。几种机制会在曲面上留下不同特征：负的 spot/variance correlation 会形成 diffusive leverage；较大的 vol-of-vol 往往增强 curvature；price jumps 特别影响短期限 tails 和 skew；default 或 jump-to-ruin 则把远端左尾与 credit spread、survival probability 和资本结构联系起来。
但看到负 skew，并不能断定原因就是 leverage：jumps 和 default risk 也能产生类似形状；看到 curvature，也不能断定只有 vol-of-vol 在起作用。若用很大的 vol-of-vol 硬拟合短期限 jump risk，中长期 curvature、路径模拟和对冲都可能被扭曲。第6章的 CreditGrades 例子说明了 equity skew 和 credit risk 都与左尾风险有关。
有报价的区域尚且不能唯一识别机制，没有报价的远端区域就更不能随便画。
$$ w(k,T)=\sigma_{\mathrm{imp}}^2(k,T)T. $$Asymptotics 告诉我们没有报价的区域可以怎样延伸。Roger Lee 的 moment formula 把风险中性分布中正、负矩的存在范围与 total-variance wings 的渐近斜率联系起来，并给出线性 wing slope 的上界。短期限极限还能区分局部连续扩散与非局部 jumps，极端 strikes 则直接受到 tail moments 约束。这些结果不替代市场报价，但能防止插值和外推产生不合理的尾部。
Local volatility、Heston 和 jumps 解释曲面可能怎样产生，asymptotics 约束没有报价的远端区域；但实际 calibration 还需要把有限的 strike 报价连成一条连续、稳定、可外推的 smile。因而 SVI 被引入：SVI 不描述 spot 和 volatility 的真实动态，而是直接用少量参数拟合今天的 total implied variance。
SVI 用五个参数描述单个期限的 total-variance smile：
$$ w(k)=a+b\left[ \rho(k-m)+\sqrt{(k-m)^2+\sigma^2} \right]. $$SVI 参数少、容易拟合 liquid quotes，wings 对 $|k|$ 呈线性，也能与 moment constraints 联系起来。但每个期限单独拟合得漂亮，不代表把它们叠在一起就没有套利。
同一期限的 call price 必须随 strike 下降、保持凸性，并满足端点和尾部界限；其中凸性对应非负风险中性测度，在足够光滑时才可称为非负密度。不同期限之间还要在一致的 forward coordinate 下排除 calendar-spread arbitrage，插值和外推也必须保持这些条件。Gatheral 与 Jacquier 后来的 SVI/SSVI 工作把这些限制纳入曲面构造。
至此，模型可以无套利地描述今天的报价，但仍没有回答曲面下一刻怎样移动。
动态一致性：spot 变化以后，模型中的 skew 和 curvature 怎样移动？
静态拟合只是在比较今天的快照。这里的“动态一致性”不是一个形式化的无动态套利条件，而是问：spot 变化以后，模型会怎样移动这张曲面，这种移动是否适合产品定价和对冲？假设 local-volatility 和 stochastic-volatility model 今天拟合了同一张 SPX smile。第二天 spot 都是 $95$，两者给出的新曲面仍可能不同：local volatility 只看当前时间和 spot，stochastic volatility 还要看当时的瞬时方差状态 $v_t$。今天的 European prices 只约束各期限的终点边缘分布，并没有确定时点之间的转移规律。今天价格相同，并不代表明天的报价规则也相同。
Sticky strike、sticky delta 是交易员快速移动曲面的经验规则，可以作为比较模型动态的直观基准；它们本身不是完整的无套利随机模型。真正的动态模型还要说明 spot、瞬时方差和曲面怎样一起变化。
产品相关性：定价和对冲需要哪些分布信息？
这些差异是否重要，要看产品究竟关心最后的价格、中间走过的路径，还是多个未来时点。
例如，Exotic payoff 会在意以下内容：
终点边缘分布。 Digital payoff 不依赖路径。在风险中性分布足够光滑时，cash-or-nothing digital 满足
$$ -\frac{\partial C(K,T)}{\partial K} =D(0,T)\,\mathbb Q(S_T>K). $$Digital 会直接放大曲面局部斜率，因此对 smile parameterization 和 strike interpolation 很敏感，但仍只需要终点分布。
完整路径。 Barrier 不只问最后在哪里，还问途中是否碰过某个价位。两个模型即使给出相同的终点分布，也可能给出不同的触碰概率和触碰时 volatility state。若产品在触碰后继续存续或延迟支付，后续 conditional dynamics 也会进入价格；立即终止的 knock-out 则不需要触碰后的路径。
多个未来时点。 Cliquet 会在多个日期重置，因此需要知道各段收益怎样联合变化。它的 payoff 并不直接读取 volatility surface，但每个重置日的 conditional distribution 常通过 forward smile 表现出来，因而影响估值和对冲。
从 digital 到 barrier，再到 cliquet，产品需要的信息越来越多，这就是风险分解中的 model risk。误差不仅表现为初始价格偏差，还可能在每次观察和再对冲时累积。
第9章用 reflection principle、put-call symmetry、quasi-static hedging 和 discrete-monitoring adjustment 处理这个问题：先利用 symmetry 和 vanilla instruments 覆盖能稳健复制的部分，再让模型处理剩余风险。Symmetry 也有适用条件，但这种顺序能更清楚地分开复制误差与模型误差。
另外，Gatheral 第11章把“先复制、再建模”用于 volatility derivatives。在连续路径下，Itô 公式给出
$$ \int_0^T v_t\,dt =2\int_0^T\frac{dS_t}{S_t} -2\log\frac{S_T}{S_0}. $$这个等式说，realized variance 可以拆成两部分：动态交易标的和持有一个 log contract。Log contract 又能用一组 OTM options 静态复制。一般地，对于足够光滑的 payoff $g(S_T)$，在展开点 $F$ 有
$$ \begin{aligned} g(S_T)={}&g(F)+g'(F)(S_T-F)\\ &+\int_0^F g''(K)(K-S_T)^+\,dK\\ &+\int_F^\infty g''(K)(S_T-K)^+\,dK. \end{aligned} $$右侧由现金、forward、OTM puts 和 OTM calls 组成。对 log payoff，$g''(K)$ 与 $1/K^2$ 成正比，因此连续采样 variance swap 的公平执行价为
$$ K_{\mathrm{var}} =\frac{2}{T}\left[ \int_0^F\frac{\widetilde P(K,T)}{K^2}\,dK +\int_F^\infty\frac{\widetilde C(K,T)}{K^2}\,dK \right], $$其中 $\widetilde P$、$\widetilde C$ 是未贴现的 forward option values。期权条带给出公平执行价，完整的逐路径复制还要动态交易标的。
这里的“相对模型无关”只表示核心复制关系不依赖某个特定 stochastic-volatility parameterization，并不表示没有假设。有限 strike range、离散 monitoring、jumps、随机利率或股息、bid–ask spread 与合约约定，都会让理想复制和实际交易产生差异。
Volatility swap 不能只把 variance-swap strike 开平方。若 $X\geq0$ 是未来 realized variance，由于平方根是凹函数，
$$ K_{\mathrm{vol}} =\mathbb E^{\mathbb Q}[\sqrt X] \leq \sqrt{\mathbb E^{\mathbb Q}[X]} =\sqrt{K_{\mathrm{var}}}, $$除非 $X$ 没有不确定性，否则左边严格更小。两者的差就是 convexity adjustment；它取决于 realized variance 的完整分布，因此仍然需要模型。
全书的主线可以压缩成一句话：vanilla surface 告诉我们市场今天怎样定价，模型说明它以后怎样变化，产品决定这种变化是否重要。
杂记
最后保留第一次阅读时卡住的一处变量代换。
给定下列等式：
$$ \begin{aligned} 0={}&\frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}+\rho\eta vS\frac{\partial^2V}{\partial S\partial v} +\frac{1}{2}\eta^2v\frac{\partial^2V}{\partial v^2} +rS\frac{\partial V}{\partial S} -\lambda(v-\bar v)\frac{\partial V}{\partial v}-rV, \end{aligned} $$进行变量代换
$$ \begin{aligned} x&=\log\left(F_{t,T}/K\right) =\log\left(Se^{r\tau}/K\right),\\ V(S,v,t)&=e^{-r\tau}C(x,v,\tau), \end{aligned} $$可以得到
$$ \begin{aligned} 0={}&-\frac{\partial C}{\partial\tau} +\frac{1}{2}v\left( \frac{\partial^2C}{\partial x^2} -\frac{\partial C}{\partial x} \right)+\rho\eta v\frac{\partial^2C}{\partial x\partial v} +\frac{1}{2}\eta^2v\frac{\partial^2C}{\partial v^2} -\lambda(v-\bar v)\frac{\partial C}{\partial v}. \end{aligned} $$一开始看书时没明白 $rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV$ 这项是怎么被消去的。看了这个回答之后才发现，我漏掉了价格变换 $e^{-r\tau}C(x,v,\tau)=V(S,v,t)$，所以一开始推不出书上的式子。