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引言
最近，笔者在某节课上学习了利用特征函数及FFT的期权定价方法，which 需要用到特征函数反推概率分布函数，也就是下面这个等式： $$ F(x) = \frac {1}{2} + \frac {1} {2\pi}\int ^{\infty} _{0} \frac {e^{itx} \phi(-t) - e^{-itx}\phi(t)} {it} \text{d}t, $$ 其中，$F(x)=F_Z(x)$是关于随机变量$Z$的概率分布函数，$\phi(t)=\phi_Z(t) :=\mathbb{E}[e^{itZ}] = \int^{+\infty} _{-\infty}e^{itz}\text{d}F(z)$ 是关于随机变量$Z$的特征函数，$i:=\sqrt{-1}$。
然而，这节课的课件里没有这个表达式的推导过程。为了理解这个式子从何而来，笔者找到了这篇文章1，将推导思路记了下来，写作本文。
为简化符号，下文将继续省略概率分布函数、特征函数关于随机变量的下标。
另外，笔者不确定下文中自己对「为什么可以交换积分次序」的证明是对是错。如果有大佬能指出其中的问题，那就在此提前感谢了。
推导过程
第一步，任取$0<\varepsilon<\lambda$，硬凑积分如下： $$ \begin{align} \text{I}&= \frac {1} {\pi}\int ^\lambda _{\varepsilon} \frac {e^{itx} \phi(-t) - e^{-itx}\phi(t)} {it} \text{d}t \nonumber \\ &= \frac {1} {\pi} \int ^\lambda _{\varepsilon} \frac {e^{itx} \int^{+\infty} _{-\infty} e^{-itz} \text{d}F(z) - e^{-itx}\int^{+\infty} _{-\infty}e^{itz}\text{d}F(z)} {it} \text{d}t \nonumber \\ &= \frac{1}{\pi} \int ^\lambda _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {e^{i[t(x-z)]}- e^{i[-t(x-z)]}} {it}\text{d}F(z) \text{d}t \\ &\xlongequal{\text{使用欧拉公式}} \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}F(z) \text{d}t \\ &\xlongequal{\text{积分换序}}\int ^{+\infty} _{-\infty} \text{d}F(z) \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}t \end{align} $$
如何从(1)式推出(2)式？
这里，从$(1)$式推出$(2)$式需使用欧拉公式（即$e^{iu}=\cos(u)+i\sin(u), \forall u \in \mathbb{R}$）展开$e^{i[t(x-z)]}$及$e^{i[-t(x-z)]}$即可： $$ \begin{align*} (1) 式 &=\frac{1}{\pi} \int ^\lambda _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {\cos(t(x-z)) + i\sin(t(x-z)) -\cos(-t(x-z)) - i\sin(-t(x-z))}{it} \text{d}F(z) \text{d}t \\\ &= \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}F(z) \text{d}t \end{align*}. $$
如何从(2)式推出(3)式？
若要交换积分次序，我们需要证明被积函数 $ f(t,z) := \frac{\sin(t(x-z))}{t}$ 在 $( \varepsilon , \lambda) \times(-\infty, +\infty) $ 上绝对可积。根据假设可知，$0 < \varepsilon < t < \lambda$，且 $-\infty < z < +\infty$。那么，我们有： $$ \begin{align*} \left | \frac{\sin(t(x-z))}{t} \right |& < \left | \frac{\sin(t(x-z))}{\varepsilon} \right | \\\ &= \frac { \left | \sin(t(x-z)) \right |} {\varepsilon} \\\ &\leq \frac 1 \varepsilon. \end{align*} $$
因此，我们有：
$$ \begin{align*} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}F(z) \text{d}t &< \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {1}{\varepsilon} \text{d}F(z) \text{d}t \\ &= \int ^{+\infty} _{-\infty} \text{d}F(z) \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \frac {1}{\varepsilon} \text{d}t \\ &= {1} \cdot \frac {\lambda - \varepsilon} {\varepsilon} < \infty. \end{align*} $$
由此，我们证明了 $ \left | f(t,z) \right | = \left | \frac{\sin(t(x-z))}{t} \right |$ 在 $( \varepsilon , \lambda) \times(-\infty, +\infty) $ 上的积分值有限，因此 $ \frac{\sin(t(x-z))}{t}$ 绝对可积，可以交换积分次序。
第二步，为了求解$(3)$式，我们需要定义函数如下： $$ \begin{align*} \operatorname{sign}(x-z) = \frac {2} {\pi} \int ^{\infty} _{0} \frac{\sin(t(x-z))}{t} \text{d}t &= \begin{cases} -1, & 如果 z>x \\ 0, & 如果 z=x \\ 1, & 如果 z<x \end{cases}. \end{align*} $$
最后，第三步，当$\varepsilon \to 0$ 且 $\lambda \to \infty$时，有以下左右两式相等： $$ \begin{align} \lim\limits _{\varepsilon \to 0 \atop \lambda \to \infty} \text{I} &=\lim\limits _{\varepsilon \to 0 \atop \lambda \to \infty} \text{(3)式} \nonumber \\ \Longrightarrow \quad \frac {1} {\pi}\int ^{\infty} _{0} \frac {e^{itx} \phi(-t) - e^{-itx}\phi(t)} {it} \text{d}t &= \int ^{+\infty} _{-\infty} \text{d}F(z)\thinspace\lim\limits _{\varepsilon \to 0 \atop \lambda \to \infty} \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}t \end{align} $$
$$ \begin{align} \text{RHS} &=\int ^{+\infty} _{-\infty} \text{d}F(z)\thinspace\lim\limits _{\varepsilon \to 0 \atop \lambda \to \infty} \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}t \nonumber \\ \nonumber &= \int ^{+\infty} _{-\infty} \operatorname{sign}(x-z)\thinspace \text{d}F(z) \\ \nonumber &= \int ^{+\infty} _{x} (-1) \thinspace \text{d}F(z) + \int ^{x} _{-\infty} (1) \thinspace \text{d}F(z) \\ \nonumber &= -(F(z))| _{x}^{\infty} + (F(z))| ^{x} _{-\infty} \\ \nonumber &= -[1-F(x)] + [F(x)-0] \\ &=2F(x)-1 \end{align} $$
将$(5)$式代入$(4)$式，可得： $$ \begin{align} F(x) = \mathbb{Q}(X \leq x) &= \frac {1}{2} + \frac {1} {2\pi}\int ^{\infty} _{0} \frac {e^{itx} \phi(-t) - e^{-itx}\phi(t)} {it} \text{d}t \\ &= \frac {1}{2} + \frac {1} {\pi}\int ^{\infty} _{0} \frac {\overline { -e^{-itx} \phi(t)} - e^{-itx}\phi(t)} {2it } \text{d}t \\ &= \frac {1}{2} - \frac {1} {\pi}\int ^{\infty} _{0} \operatorname{Re} \left[ \frac { e^{-itx}\phi(t)} {2it } \right] \text{d}t \end{align} $$
因此， $$ \begin{align} \mathbb{Q}(X>x) = 1 - F(x) &= \frac {1}{2} + \frac {1} {\pi}\int ^{\infty} _{0} \operatorname{Re} \left[ \frac { e^{-itx}\phi(t)} {2it } \right] \text{d}t \end{align} $$
J. GIL-PELAEZ, Note on the inversion theorem, Biometrika, Volume 38, Issue 3-4, December 1951, Pages 481–482, https://doi.org/10.1093/biomet/38.3-4.481[ ↩︎